Mathieu Dupont

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Intérêts mathématiques

Mes intérêts principaux sont la théorie des catégories, la logique et les fondements des mathématiques. Dans ma thèse, j'ai défini les catégories enrichies dans les groupoides abélienne et 2-abéliennes, qui sont des versions 2-dimensionnelles des catégories abéliennes et dans lesquelles on peut développer une théorie de l'homologie en dimension 2. Parallèlement, je me suis intéressé à la question des fondements et de la formalisation de la théorie des catégories (et, plus généralement, des mathématiques).

Textes mathématiques

Mémoires et thèse

• Systèmes de factorisation dans les 2-catégories (2001; mémoire de licence; promoteur : Enrico Vitale).
  On y définit différentes notions de système de factorisation propre sur une 2-catégorie et, pour chacune de ces notions, on construit la 2-catégorie avec système de factorisation propre libre sur une 2-catégorie.
• Catégories enrichies dans une base munie d'un système de factorisation (2002; mémoire de DEA; promoteur : Enrico Vitale).
  Ce travail est basé sur la prépublication « Factorizations in bicategories » de Renato Betti, Dietmar Schumacher et Ross Street. Ils définissent relativement à une collection de foncteurs des notions de monomorphisme, épimorphisme régulier, factorisation régulière dans une 2-catégorie et de 2-catégorie régulière et 2-catégorie exacte. Je fais la même chose dans un cadre enrichi, en présentant cela relativement à un système de factorisation sur la base d'enrichissement et en intégrant les notions duales (ce qui nécessite l'introduction de la notion de systèmes de factorisation couplés). Il y a une erreur dans la sous-section 3.8.1 : il faut remplacer partout D(ℤ) par le cat-groupe symétrique libre sur un générateur. Une nouvelle version, plus propre, est en préparation.
• Catégories abéliennes en dimension 2 (2008; thèse de doctorat; promoteur : Enrico Vitale) {elle est aussi accessible sur le site de l'UCL et il en existe une version anglaise, qui se trouve également sur l'arXiv}.
  Le but de ma thèse était de trouver une notion de catégorie abélienne 2-dimensionnelle, le rôle que jouait les groupes abéliens étant joué par les 2-groupes symétriques. Je propose deux telles notions, les catégories enrichies dans les groupoïdes abéliennes et 2-abéliennes. Je montre que l'on peut y développer l'homologie 2-dimensionnelle, y compris l'existence d'une longue suite exacte d'homologie construite à partir d'une suite exacte courte de complexes de chaînes. Les exemples sont, outre les 2-groupes symétriques, les 2-modules sur un 2-anneau et, si on accepte l'axiome du choix, les 2-espaces vectoriels au sens de Baez-Crans.

Article

• Proper factorization systems in 2-categories (2003; publié dans le Journal of Pure and Applied Algebra, volume 179, pages 65-86).
  Cet article est tiré de mon mémoire de licence (voir ci-dessus). Résumé. À partir d'exemples connus de systèmes de factorisation dans des 2-catégories, on discute plusieurs possibilités de définition de système de factorisation propre dans une 2-catégorie. On concentre notre attention sur la construction du système de factorisation propre libre sur une 2-catégorie donnée.

Notes

• Catégories sans ensemble d'objets, n-ordres, constructivisme (2008; ce texte devait être un avertissement au début de ma thèse de doctorat, intitulé “Avertissement concernant le cadre de ce travail” mais je l’ai finalement enlevé).
• The two meanings of the word “set” in mathematics (2009; c'était l'unique entrée de mon blogue). Actuellement indisponible ; une nouvelle version intitulée The three meanings of the word “set” in mathematics est en préparation.